论文导读：：根据孔隙热弹性线性理论，本文首先建立了在移动周期载荷作用下孔隙热弹性地基动力学响应分析的数学模型，其中提出了在周期性边界上必须满足的6类适当的条件，即界面位移相等、应力相等、孔隙百分比相等、温度相等以及在外法线方向孔隙发展相等和温度导数相等。在此基础上，分别采用微分求积法（DQM）和有限差分法（FDM）对控制方程进行空间和时间离散，并求解。作为算例，分别研究了在移动周期载荷和极限车载作用下孔隙热弹性地基的动力学响应，考察了车速对沉降、孔隙体积百分比和温度的影响。可以看到，本文提出的处理周期性问题DQM，具有精度高、收敛性好，计算效率高等特点。

　　论文关键词：孔隙热弹性地基，移动周期载荷，周期性条件，微分求积法（DQM），动力学响应

　　0 引言

　　半空间体受移动载荷作用的问题是交通运输、土木工程以及地震工程中最基础的一类课题。例如，由高速火车或者地铁引起的噪声和振动是现代城市结构设计中必须要考虑的重要因素。对移动车辆或者地铁引起的微振动的评估，以确保精密仪器的正常运行，对于土木工程设计部门来说同样重要。研究运动荷载作用下地基的动力响应，对于我国，尤其是对于在南方软土之上发展新型高速铁路，开发磁悬浮列车也具有重要的理论和工程意义。

　　在文献[1-3]中，人们研究了在移动载荷作用下弹性或者粘弹性半空间的动力学响应。但是，利用单相介质来模拟由土颗粒和水组成的二相饱和介质会产生一定的误差。为了进一步探讨在移动载荷作用下由二相饱和介质组成的地基的动力学响应，基于多孔饱和介质的Biot理论[4]，金波等[5-7]用Fourier变换研究了受匀速移动简谐力作用的多孔弹性半平面问题，发现多孔饱和弹性固体在移动荷载下的动力响应与单相弹性固体的动力响应明显不同，多孔饱和弹性半平面的应力和孔隙水压力都随振动频率或载荷移动速度的增加而增加。

　　虽然，用Biot理论成功地解决了许多工程实际问题，然而当地层介质中的孔洞不含液体时，用Biot理论来描述流体饱和多孔介质显得不够准确。为了弥补这一不足，同时考虑温度的影响，Goodman，Cowin和Iesan等人[8-11]发展了一种较为完善的孔隙热弹性理论。该理论的基本假设为：材料的体积密度是两个场，即基体材料密度场和体积百分比场的乘积物理论文，这样，材料体积密度的表达式可由一个独立的动态变量表示，这个变量就是孔隙体积百分比。然后由热力学第一、第二定律导出各向异性孔隙线性热弹性材料的基本方程。

　　由于孔隙热弹性材料兼具结构和功能双重用途，具有相对密度低、比强度高、比表面积高、重量轻、隔音、隔热、渗透性好等优点，它们多见于天然多孔材料、人造多孔材料和生物工程材料等，不但在航空、航天、化工、建材、冶金、原子能、石化、机械、医药和环保等诸多领域具有广泛的应用前景，而且相比其他理论也更适合用于研究特殊的连续体和地质材料，如岩石，砂土等的力学特性。

　　本文基于孔隙热弹性线性理论，首先建立了在移动周期载荷作用下二维孔隙热弹性地基动力响应问题的数学模型，其中包括动量平衡方程、平衡力的平衡方程、能量方程、周期性边界条件、初始条件等。在此基础上，分别采用微分求积法（DQM）和有限差分法（FDM） 在空间和时间域内对控制方程进行离散，并求解。作为算例，首先研究受移动谐载荷作用下孔隙热弹性地基的动力学响应发表论文。然后，分析了在极限车载作用下孔隙热弹性地基的动力学特性，考察了车速对沉降、孔隙体积百分比和温度的影响。通过计算和分析看到，本文提出的用于处理周期性问题DQM，具有精度高、收敛性好，计算效率高等特点。对于求解各种土质条件下地基的动力学响应具有独到之处。

　　1问题的数学描述

　　考察图1所示厚为，宽为无限长的孔隙热弹性二维介质，其所占的区域微分求积法（DQM），在顶端受移动周期性外载荷或周期性温度的作用。任取一个周期性区域微分求积法（DQM）来进行分析，是周期载荷的波长。令为区域左右两侧的周期性边界，其边界方程为：微分求积法（DQM）。

　　Fig.1 Physical model

　　1.1 孔隙热弹性材料的基本方程

　　忽略体积力、热源和外平衡体力的影响，根据文献[11]可得均匀各向同性孔隙热弹性体的线性理论，其运动微分方程组为

　　（1）

　　而本构方程为

　　（2）

　　其中，分别为位移矢量，应变张量和应力张量，为孔隙百分比和温度的改变量（以下分别简称为孔隙百分比和温度）；是材料的拉梅系数，是线性热膨胀系数；是常应变下的比热；是参考构形的绝对温度，是平衡惯量，是体积密度；是描述材料孔隙率变化特性的系数。更确切地说，是孔隙率变化的扩散系数，它决定不可压缩颗粒材料中膨胀波的速度，是孔隙率变化的应力参数，是描述孔隙率变化的非保守特性的系数。是克罗尼克符号。

　　对于图1所示的二维问题，y方向的位移为0，所有未知量与坐标y无关，因此物理论文，有。引入如下无量纲量：

　　（3）

　　其中，是周期载荷的波长。令无量纲参数为

　　（4）

　　可见，是位移场和孔隙体积变形场的耦合系数，由[12]可知，。是位移场和温度场的耦合系数，当时，位移场和温度场不耦合。

　　由（1）和（2）可得二维平面问题无量纲形式的运动微分方程和本构关系为

　　（5）

　　（6）

　　1.2 边界条件

　　对于图1所示的物理模型，假设其上部边界承受移动周期垂直载荷或周期温度载荷的作用；底部边界固定。任取一个周期区域来研究，为左右两侧的周期性边界，因此，有如下无量纲形式的边界条件。顶部边界处的边界条件为

　　（7a）

　　其中，为周期外力和温度的无量纲量。而，为物体和空气的对流换热系数。当时为绝热边界条件，时为等温边界条件。

　　底部边界处的边界条件为

　　（7b）

　　侧向周期边界处，应该满足如下周期性条件：（1）介质的位移相等；（2） 介质的法向和切向应力相等；（3）孔隙百分比相等；（4）温度相等；（5）外法线方向孔隙百分比发展相等；（6）外法线方向温度导数相等。并有如下表达式：

　　（7c）

　　其中，和分别是边界和上的法向应力和切向应力，和分别是和的单位外法线矢量。

　　1.3 初始条件

　　对于未变形的孔隙热弹性介质，当时，有初始条件

　　（8）

　　这样，公式（5）-（8）构成了在移动周期性载荷作用下，孔隙热弹性地基动力响应问题的基本场方程。我们将采用微分求积法（DQM）和有限差分法（FDM）在空间域和时间域内来离散控制方程并求解，由此研究在移动周期载荷作用下孔隙热弹性地基的动力学特性。

　　2控制方程的离散化与求解

　　2.1 控制方程的DQ离散化

　　微分求积法（DQM）是将函数对某方向的自变量的偏导数近似表达为其各离散点（节点）上相应函数值的加权和，其加权系数取决于节点分布并与具体问题无关。因此，利用这些系数，任何微分方程都能转化为相应的代数方程。关于DQM可参考文献[13]和其他近期的相关文献[14]。根据文献[13]，可得控制方程（5）在空间域内的DQ离散化形式

　　（9）

　　其中，表示对X的m阶偏导数的权系数，表示对Z的n阶偏导数的权系数。这里，采用多项式作为试函数来构造权系数，并利用Chebyshev-Lobatto多项式的零点的来布置节点的坐标[13]。

　　2.2边界条件的DQ离散化

　　同样根据[13]，也可得到边界条件的DQ离散化方程。

　　顶部处边界条件的DQ离散化形式为

　　（10a）

　　底部处边界条件的DQ离散化形式为

　　（10b）

　　周期性边界和处周期性边界条件的DQ离散化形式为

　　（10c）

　　初始条件的DQ离散化形式为

　　（10d）

　　方程（9）-（10），组成了周期域内平面孔隙热弹性动力学特性分析的初边值问题的空间DQ离散化方程组。

　　2.3 时间导数的离散

　　能够看到，空间域内的DQ离散化控制方程（9）-（10）是关于时间的微分-代数方程组，求解一般比较困难。为了方便，将其写成矩阵形式

　　（11）

　　其中，为未知量组成的矢量，即它是所有要求的未知量在离散点处的值构成的矢量发表论文。和是所有未知函数对时间的导数项的系数构成的矩阵，它们是奇异的，是由相关未知量空间离散所得代数函数组成的矢量。采用一阶和二阶向后差分格式来逼近时间导数，即

　　（12）

　　其中物理论文，为当前时刻的无量纲量。利用公式（12），原系统（9）-（10）可以被转化为一组代数方程

　　（13）

　　当给定初值时，利用通常的迭代方法可求得当前时刻为止的位移矢量。计算中，取真实时间步长，为微小的真实时间的无量纲量。

　　3 孔隙热弹性地基的动力学响应

　　3.1 在移动周期谐载荷作用下的动力学响应

　　在图1所示的物理模型中，给定移动谐载荷为，其中，是波数，是波长；是频率，是周期。计算中，给定参数如下[12,15]：

　　对应的无量纲参数为

　　利用前述的离散化和求解方法，可得问题的数值解。图2和图3分别为顶端边界点和中点处的沉降、孔隙体积百分比和温度的时程曲线。计算中，采用三种布点方式，即，和，而分别为时间步长。由图看出，不同的时间步长和布点得到的时程曲线是一致的。说明本文方法具有良好的收敛性。

　　（a）

　　（c）

　　（b）

　　图2顶端边界点处各物理量的时程曲线

　　Fig2. Time-history curves of physical quantitiesat the vertexon the top

　　（b）

　　（a）

　　（c）

　　图3顶端中点处各物理量的时程曲线

　　Fig3. Time-history curves of physical quantitiesat the midpointon the top

　　图4给出了在时刻，布点为，时间步长为时，四种不同材料地基，即孔隙热弹性2维地基（TEVF）、孔隙弹性2维地基（EVF）、热弹性2维地基（TEF）、弹性2维地基（EF），顶端沉降、孔隙百分比和温度随X的变化曲线。可以看到，孔隙的存在使沉降和温度有所增加，而温度的影响则使沉降减小和孔隙体积百分比增加，这是因为能量部分转换成热能，引起耗散的结果。

　　（a）

　　（c）

　　（b）

　　图4 时刻，各物理量随X的变化曲线

　　Fig.4 Variation of physical quantities with X at

　　计算中，还画出了经过10个周期后，在不同时刻，沉降、孔隙百分比和温度的等势图，限于篇幅不再列出。从这些图中看到，沉降、孔隙百分比和温度随时间的变化从对称分布变为反对称分布。表1给出了时间步长，在时刻，不同布点情况下，顶端中点处沉降、孔隙百分比和温度值的比较。可以看出，结果是收敛的。

　　表1 布点对顶端中点处各物理量的影响（）

　　Table 1Effect of the node distribution on physical quantities at the midpointon the top （）

　　4.3630E-3

　　4.3690E-3

　　4.3680E-3

　　4.3664E-3

　　4.3651E-3

　　-6.4614E-3

　　-6.6451E-3

　　-6.6801E-3

　　-6.6829E-3

　　-6.6806E-3

　　-5.7120E-3

　　-6.0142E-3

　　-6.1534E-3

　　-6.2299E-3

　　-6.2778E-3

　　计算中，还数值地研究了各参数的影响。可以看到，不同的参数对各物理量的影响是不尽相同的，例如，孔隙体积百分比随孔隙率变化扩散系数的增加而减小物理论文，温度随的增加而增加，沉降随的增加而略有减小。沉降、孔隙体积百分比和温度都随位移-孔隙耦合数的增加而显著增加。孔隙体积百分比和温度随孔隙-温度耦合参数的增加而增加，而沉降增加较少。但是，孔隙体积百分比和温度随孔隙-温度耦合参数的增加是先增后减，沉降随的增加而略有增加。还可以看到，孔隙体积百分比和温度随位移-温度耦合参数的增加而增加，但是沉降则随的增加而略有减小。

　　3.2 在周期性温度载荷作用下地基的动力学响应

　　假设给定周期性温度载荷为，利用同样的求解方法和参数进行了数值计算。计算中取，表2给出了在时刻时，顶端中点处沉降、孔隙体积百分比和温度的数值结果。可以看出，随着耦合参数的增加，孔隙体积百分比增加，温度则减小。沉降随的增加而增加，随的增加而减小。

　　表2 顶端中点处各物理量的值（）

　　Table 2 Values of physical quantities at the midpointon the top （）

　　TEVHF

　　1.349E-3

　　1.229E-3

　　1.463E-3

　　1.236E-3

　　-7.181E-3

　　-2.188E-3

　　-6.251E-3

　　-2.476E-3

　　3.869E-2

　　3.924E-2

　　4.062E-2

　　3.918E-2

　　3.3 极限车载作用下地基的动力学特性

　　考察如图5所示深度为的孔隙热弹性无限长的岩土场地上，每隔一定的车间距，都有一辆质量相等的车沿着相同的方向等速前行。给定车重，车速（移动荷载行进的速度），轮间距。

　　图5极限移动车载下地基的物理模型

　　Fig. 5 Physical model of foundation subjected to a limitmoving vehicle load

　　从图5所示岩土地基物理模型中取出一个周期性区域来进行分析，则在每个周期区域中的车辆载荷可以给定为

　　（14）

　　其中，为取整函数。在运用DQM来进行数值模拟时，作用在第和个节点上的载荷可以近似表示为（图6）

　　（15）

　　其中，为无量纲车辆载荷的幅值。计算中，给定，车重为2吨，即，发表论文。同时采用两种布点方式，即和，时间步长采用。图7-9分别为顶端沉降、孔隙体积百分比和温度的时程曲线，其中的子图（a）和（b）分别表示顶端边界点和中点处的时程曲线。这里所得的无量纲结果都放大了。可以看出，两种不同布点得到的时程曲线的趋势是基本一致的，当布点数增加时，所得的沉降、孔隙百分比和温度的数值有所减小，这是因为在处理集中载荷时采用的近似方法引起的。当采用和两种布点时，所得结果已非常接近，这说明，本文采用的处理移动车载的方法对于研究地基的动力学行为是有效的。

　　（b）

　　（a） 边界点边界点边界点和中点 边界点和中点

　　图7布点对沉降时程曲线的影响

　　Fig. 7 Effect of the node distribution on the time-historycurves of the settlement

　　（b）

　　（a）

　　图8布点对孔隙百分比时程曲线的影响

　　Fig. 8 Effect of the node distribution on the time-historycurves of the volume fraction of voids

　　（b）

　　（a）

　　图9布点对温度时程曲线的影响

　　Fig. 9 Effect of the node distribution on the time-historycurves of the temperature

　　图10-12给出了车速对沉降、孔隙百分比和温度的影响物理论文，这里分别给定车速，并在计算区域内取，取，子图（a）和（b）分别表示顶端边界点和中点处的时程曲线。从地基的沉降时程曲线看到，随着车速的增加，各变量的幅值没有明显变化，但却提高了振动频率，这对高速铁路和磁悬浮列车的设计可能具有参考意义。

　　（b）

　　（a）

　　图10车速对沉降时程曲线的影响

　　Fig. 10 Effect of the vehicle velocity on the time-historycurves of the settlement

　　（a）

　　（b）

　　图11车速对孔隙百分比时程曲线的影响

　　Fig. 11 Effect of the vehicle velocity on the time-historycurves of the volume fraction of voids

　　（b）

　　（a）

　　图12 车速对温度时程曲线的影响

　　Fig. 12 Effect of the vehicle velocity on the time-historycurves of the temperature

　　计算中，也计算了车速，运动40个周期后（每个周期为），在不同时刻，在车载作用下地基的无量纲沉降、孔隙百分比和温度的等势图。可以看到，沉降、孔隙体积百分比和温度的最大值随车载的移动而移动。

　　4结论

　　本文研究了在移动周期载荷作用下孔隙热弹性地基的动力学响应。首先基于孔隙热弹性线性理论，建立了在移动周期载荷作用下孔隙热弹性半平面地基动力响应问题的数学模型，其中包括动量平衡方程、平衡力的平衡方程、能量方程、周期性边界条件、初始条件等。同时提出了孔隙热弹性介质一般周期性边界上必须满足的6类界面条件，即位移相等、法向和切向应力分量相等、孔隙百分比相等、温度相等以及法线方向孔隙发展相等和温度导数相等。分别采用DQM和FDM在空间域和时间域内对控制方程进行离散，然后求解。作为数值算例，首先研究了孔隙热弹性地基在移动周期谐载荷和温度作用下的动力学响应。然后，分析了在极限车载作用下岩土地基的动力学特性，考察了车速对沉降、孔隙和温度的影响。通过计算和分析看到，本文所采用的DQM，对于处理周期性动力学问题，具有精度高、收敛性好，计算效率高的特点，为类似移动周期载荷作用下岩土地基的动力学响应问题提供了一种有效的数值计算方法。

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